古籍名著《缀术》的年代、作者和内容精讲
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祖冲之,字文远。生于宋元嘉六年(429年),卒于齐永元二年(500年)。范阳遒(今河北省涞水县北)人。刘宋时任公府参军,谒者仆射,萧齐时官至长水校尉。他博学多才,创制大明历,最早把岁差引入历法;曾造指南车、水碓磨、千里船、欹器并改进漏刻;著述宏丰,有长水校尉祖冲之集五十一卷。述异记十卷,并撰有研究周易、老子、庄子、论语等经典的专著,均已失传。其子祖暅亦博学,在梁代官至太府卿,精通天文历算,撰天文录三十卷,漏刻经一卷。
祖冲之研读了九章算术及其刘徽注之后又有许多创见,写成数十篇专题论文,附缀于刘徽注之后,称之为“缀述”。祖暅在此基础上进一步研究,合父子二人之力,成缀术六卷(或五卷),其内容虽仅有片断保存至今,但均有重要价值。
一、圆周率的计算。隋书·律历志:“宋末,南徐州从事史祖冲之更开密法,以圆径一亿为一丈,圆周盈数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽,肭数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽,正数在盈朒二限之间。密率,圆径一百一十三,圆周三百五十五。约率,圆径七,周二十二。”祖冲之在刘徽工作的基础上,求出了精确到七位小数的圆周率
一千多年后,阿拉伯数学家阿尔·卡西(al-Kashi)才于一四二七年给出更精确的圆周率值。为了计算的方便,祖冲之还给出了用分数表示的两个圆周率值,即密率355/113,
约率22/7,其中,密率是圆周率的分母小于10000的最佳渐近分数,欧洲人直到十六世纪才得到这一数值。因此,祖冲之在圆周率方面的工作远远地走在了当时世界的前列。由于用割圆术计算圆周率到七位小数需要巨大的计算量,而密率的取得又涉及一些理论方面的问题,因此,祖冲之究竟用何方法求出这些值仍是未解之谜。
二、球体积公式的推导。九章算术少广章“开立圆术”给出了一个已知球体积而计算球直径的公式,等价于如下的球体积公式:
其中d为球直径。三国时刘徽认为此公式误差太大,引入“牟合方盖”(两等径直交圆柱的公共部分)以推求球体积。他求出牟合方盖与其内切球体积之比为4:π,但未能求出牟合方盖与其外切立方体的体积之比。祖冲之曾研究这一问题,在刘徽、祖冲之工作的基础上,祖暅概括出著名的刘祖原理:“缘幂势既同,则积不容异”,即,对于同高的两立体图形,如果横截面积(幂)之间的关系(势)已处处相同,则体积之间的关系也不能不是这样,从而求出了牟合方盖与其外切立方体的体积之比,最终导出了球体积的正确公式
其中r为球半径。这一工作因唐初李淳风注释九章算术时加以引述而被保留下来,应是缀术中的重要内容之一。在西方,刘祖原理被称为卡瓦列利(Cavalieri,1598—1647年,意大利)公理,但后者直到十七世纪才得到它。缀术中的这一内容也是世界数学史上的辉煌成就。
三、对二次及三次方程的研究。隋书·律历志在记载了祖冲之关于圆周率的工作之后继续写道:“又设开差幂,开差立,兼以正圆参之。指要精密,算氏之最者也。”其中开差幂即求解二次方程,开差立即求解三次方程,这是中国数学史上关于三次方程的最早记载。
四、勾股问题及多面体问题。王孝通上缉古算术表称:“其祖暅之缀术,时人称之精妙,曾不觉方邑进行之术全错不通,刍甍方亭之问于理未尽。臣今更作新术,于此附伸。”九章算术勾股章第十七—二十一题均为与方城有关的测望及行路问题,涉及相似勾股比例、勾股恒等式;第二十题还需列出并求解二次方程,缀术中应亦有类似的问题,但有何不通之处就不得而知了。按王孝通的说法,缉古算经中应有改进这些欠通之处的例题,实际上,缉古第十五—二十题即为勾股问题,涉及勾股恒等变形、三次方程及双二次方程。刍甍、方亭都是立体图形,九章算术商功章有其体积求法,缀术中或许有已知它们的体积,反求边长的问题,则需求解三次方程,王孝通认为缀术中的这些内容“于理未尽”,缉古第二—十四题中包括了许多这一类问题,王孝通的批评是否得当,因缀术失传已无从评判。象缀术这样一部巨著,偶有处理不够完善之处本亦难免,丝毫不影响其在中国数学史上的重要地位。
除以上几方面内容外,缀术中可能还包括一些天文历法计算问题和度量衡问题,有的学者还认为书中研究了无穷级数。总之,缀术一书的内容是相当丰富的,成就是出类拔萃的。
缀术一书在古代以难读著称,隋书·律历志在介绍了祖冲之的工作之后称:“所著之书,名为缀术,学官莫能究其深奥,是故废而不理。”可见书成之后即遭冷遇。唐初缀术经李淳风等人注释被立于学官,做为国子监算学馆“十部算经”之一,当时的算学生需要用四年时间,是十部算经中修业年限最长的。其后,由于唐宋间数学教育制度时兴时废,又因专业数学人才的待遇太低(从九品下),缺乏吸引力,算学馆师生率多平庸之辈,故更易使缀术招致“废而不理”的命运,终于北宋时期失传,这是中国数学史上不可弥补的重大损失。